31В. Решите неравенство \(\dfrac{{\left| {x-1} \right|}}{{x-1}} + \dfrac{{\left| {x-2} \right|}}{{x-2}} \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)
\(\dfrac{{\left| {x-1} \right|}}{{x-1}} + \dfrac{{\left| {x-2} \right|}}{{x-2}} \ge 0.\) Решим исходное неравенство методом интервалов: \(\dfrac{{\left| {x-1} \right|}}{{x-1}} + \dfrac{{\left| {x-2} \right|}}{{x-2}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-\dfrac{{x-1}}{{x-1}}-\dfrac{{x-2}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < x < 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{\dfrac{{x-1}}{{x-1}}-\dfrac{{x-2}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{\dfrac{{x-1}}{{x-1}} + \dfrac{{x-2}}{{x-2}} \ge 0.}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-\dfrac{{x-1}}{{x-1}}-\dfrac{{x-2}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\,}\\{-1-1 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\,}\\{-2 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < x < 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{\dfrac{{x-1}}{{x-1}}-\dfrac{{x-2}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < x < 2,}\\{1-1 \ge 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\,\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < x < 2,}\\{0 \ge 0\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\,\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {1;2} \right).\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,\;\,}\\{\dfrac{{x-1}}{{x-1}} + \dfrac{{x-2}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\,}\\{1 + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,}\\{2 \ge 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {2;\infty } \right).\) Следовательно: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-\dfrac{{x-1}}{{x-1}}-\dfrac{{x-2}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < x < 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{\dfrac{{x-1}}{{x-1}}-\dfrac{{x-2}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{\dfrac{{x-1}}{{x-1}} + \dfrac{{x-2}}{{x-2}} \ge 0\,}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {1;2} \right),}\\{x \in \left( {2;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)