32В. Решите неравенство  \(\frac{{\left| {x-5} \right|}}{{x-5}} + \frac{{\left| {x-6} \right|}}{{x-6}} \ge 2\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {6;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{{\left| {x-5} \right|}}{{x-5}} + \frac{{\left| {x-6} \right|}}{{x-6}} \ge 2.\)

Решим исходное неравенство методом интервалов:

\(\frac{{\left| {x-5} \right|}}{{x-5}} + \frac{{\left| {x-6} \right|}}{{x-6}} \ge 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-\frac{{x-5}}{{x-5}}-\frac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 < x < 6,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{x-5}}{{x-5}}-\frac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 6,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{\frac{{x-5}}{{x-5}} + \frac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2.}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-\frac{{x-5}}{{x-5}}-\frac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,\,\;\;\;\;\,}\\{-1-1 \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,\,\,}\\{-2 \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 < x < 6,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{x-5}}{{x-5}}-\frac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 < x < 6,}\\{1-1 \ge 2\;\;}\end{array}} \right.\;\;\,\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 < x < 6,}\\{0 \ge 2\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\,\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 6,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{\frac{{x-5}}{{x-5}} + \frac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 6,\;\;\,}\\{1 + 1 \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 6,}\\{2 \ge 2\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {6;\infty } \right).\)

Следовательно:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-\frac{{x-5}}{{x-5}}-\frac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 < x < 6,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{x-5}}{{x-5}}-\frac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 6,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{\frac{{x-5}}{{x-5}} + \frac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2\,}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left( {6;\infty } \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {6;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {6;\;\infty } \right).\)