32В. Решите неравенство \(\dfrac{{\left| {x-5} \right|}}{{x-5}} + \dfrac{{\left| {x-6} \right|}}{{x-6}} \ge 2\).
ОТВЕТ: \(\left( {6;\;\infty } \right).\)
\(\dfrac{{\left| {x-5} \right|}}{{x-5}} + \dfrac{{\left| {x-6} \right|}}{{x-6}} \ge 2.\) Решим исходное неравенство методом интервалов: \(\dfrac{{\left| {x-5} \right|}}{{x-5}} + \dfrac{{\left| {x-6} \right|}}{{x-6}} \ge 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-\dfrac{{x-5}}{{x-5}}-\dfrac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 < x < 6,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{x-5}}{{x-5}}-\dfrac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 6,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{\dfrac{{x-5}}{{x-5}} + \dfrac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2.}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-\dfrac{{x-5}}{{x-5}}-\dfrac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,\,\;\;\;\;\,}\\{-1-1 \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,\,\,}\\{-2 \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 < x < 6,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{x-5}}{{x-5}}-\dfrac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 < x < 6,}\\{1-1 \ge 2\;\;}\end{array}} \right.\;\;\,\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 < x < 6,}\\{0 \ge 2\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\,\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 6,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{\dfrac{{x-5}}{{x-5}} + \dfrac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 6,\;\;\,}\\{1 + 1 \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 6,}\\{2 \ge 2\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {6;\infty } \right).\) Следовательно: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-\dfrac{{x-5}}{{x-5}}-\dfrac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 < x < 6,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{x-5}}{{x-5}}-\dfrac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 6,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{\dfrac{{x-5}}{{x-5}} + \dfrac{{x-6}}{{x-6}} \ge 2\,}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left( {6;\infty } \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {6;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {6;\;\infty } \right).\)