33В. Решите неравенство \(\dfrac{{\left| {x-5} \right|-\left| {x-3} \right|}}{{\left| {x-2} \right| + x-2}} \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left( {2;\;4} \right].\)
\(\dfrac{{\left| {x-5} \right|-\left| {x-3} \right|}}{{\left| {x-2} \right| + x-2}} \ge 0.\) Заметим, что при \(x \le 2\) знаменатель \(\left| {x-2} \right| + x-2 = -x + 2 + x-2 = 0,\) то есть неравенство не имеет решений. Так как знаменатель неравенства \(\left| {x-2} \right| + x-2 > 0\) при \(x > 2,\) то исходное неравенство равносильно системе: \(\dfrac{{\left| {x-5} \right|-\left| {x-3} \right|}}{{\left| {x-2} \right| + x-2}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\left| {x-5} \right|-\left| {x-3} \right| \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\left| {x-5} \right| \ge \left| {x-3} \right|.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим второе неравенство системы. Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| \ge \left| {g\left( x \right)} \right|\) решается возведением обеих частей неравенства в квадрат (это допустимо, так как обе части неравенства неотрицательны): \({f^2}\left( x \right) \ge {g^2}\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{f^2}\left( x \right)-{g^2}\left( x \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right)\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) \ge 0.\) \(\left| {x-5} \right| \ge \left| {x-3} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-5} \right)^2} \ge {\left( {x-3} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-5} \right)^2}-{\left( {x-3} \right)^2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-5-x + 3} \right)\left( {x-5 + x-3} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\left( {2x-8} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le 4.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\left| {x-5} \right| \ge \left| {x-3} \right|}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,}\\{x \le 4\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {2;4} \right].\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {2;\;4} \right].\) Ответ: \(\left( {2;\;4} \right].\)