34В. Решите неравенство \(\frac{{\left| {x-7} \right|-\left| {x-3} \right|}}{{x-8-\left| {x-8} \right|}} \ge 0\).
ОТВЕТ: \(\left[ {5;\;8} \right).\)
\(\frac{{\left| {x-7} \right|-\left| {x-3} \right|}}{{x-8-\left| {x-8} \right|}} \ge 0.\) Заметим, что при \(x \ge 8\) знаменатель \(x-8-\left| {x-8} \right| = x-8-x + 8 = 0,\) то есть неравенство не имеет решений. Так как знаменатель неравенства \(x-8-\left| {x-8} \right| < 0\) при \(x < 8,\) то исходное неравенство равносильно системе: \(\frac{{\left| {x-7} \right|-\left| {x-3} \right|}}{{x-8-\left| {x-8} \right|}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 8,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\left| {x-7} \right|-\left| {x-3} \right| \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 8,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\left| {x-7} \right| \le \left| {x-3} \right|.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим второе неравенство системы. Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le \left| {g\left( x \right)} \right|\) решается возведением обеих частей неравенства в квадрат (это допустимо, так как обе части неравенства неотрицательны): \({f^2}\left( x \right) \le {g^2}\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{f^2}\left( x \right)-{g^2}\left( x \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right)\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) \le 0.\) \(\left| {x-7} \right| \le \left| {x-3} \right|\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-7} \right)^2} \le {\left( {x-3} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-7} \right)^2}-{\left( {x-3} \right)^2} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-7-x + 3} \right)\left( {x-7 + x-3} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4\left( {2x-10} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge 5.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 8,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\left| {x-7} \right| \le \left| {x-3} \right|}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 8,}\\{x \ge 5\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {5;\;8} \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {5;\;8} \right).\) Ответ: \(\left[ {5;\;8} \right).\)