35В. Решите неравенство \({\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^{-1}}-{{\left( {x + 6} \right)}^{-1}}} \right)^2} \le \dfrac{{\left| {{x^2}-10x} \right|}}{{{{\left( {{x^2} + 7x + 6} \right)}^2}}}\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-6} \right) \cup \left( {-6;\;5-5\sqrt 2 } \right] \cup \left\{ 5 \right\} \cup \left[ {5 + 5\sqrt 2 ;\;\infty } \right).\)
\({\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^{-1}}-{{\left( {x + 6} \right)}^{-1}}} \right)^2} \le \dfrac{{\left| {{x^2}-10x} \right|}}{{{{\left( {{x^2} + 7x + 6} \right)}^2}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\dfrac{1}{{x + 1}}-\dfrac{1}{{x + 6}}} \right)^2} \le \dfrac{{\left| {{x^2}-10x} \right|}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x + 6} \right)}^2}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\dfrac{{x + 6-x-1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 6} \right)}}} \right)^2} \le \dfrac{{\left| {{x^2}-10x} \right|}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x + 6} \right)}^2}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{25}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x + 6} \right)}^2}}} \le \dfrac{{\left| {{x^2}-10x} \right|}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x + 6} \right)}^2}}}.\) Так как знаменатель неравенства \({\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x + 6} \right)^2} > 0\) при \(x \ne -1,\;\;\;\;x \ne -6,\) то: \(\dfrac{{25}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x + 6} \right)}^2}}} \le \dfrac{{\left| {{x^2}-10x} \right|}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x + 6} \right)}^2}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{x^2}-10x} \right| \ge 25,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne -6.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\) Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| \ge a\) при \(a \ge 0\) равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le -a,\;\,}\\{f\left( x \right) \ge a.\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{x^2}-10x} \right| \ge 25,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne -6\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-10x \le -25,}\\{{x^2}-10x \ge 25\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne -6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-5} \right)}^2} \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{\left( {x-5-5\sqrt 2 } \right)\left( {x-5 + 5\sqrt 2 } \right) \ge 0\,}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne -6\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;5-5\sqrt 2 } \right] \cup \left[ {5 + 5\sqrt 2 ;\infty } \right)}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \ne -6\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;\;-6} \right) \cup \left( {-6;\;5-5\sqrt 2 } \right] \cup \left\{ 5 \right\} \cup \left[ {5 + 5\sqrt 2 ;\;\infty } \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-6} \right) \cup \left( {-6;\;5-5\sqrt 2 } \right] \cup \left\{ 5 \right\} \cup \left[ {5 + 5\sqrt 2 ;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-6} \right) \cup \left( {-6;\;5-5\sqrt 2 } \right] \cup \left\{ 5 \right\} \cup \left[ {5 + 5\sqrt 2 ;\;\infty } \right).\)