37В. Решите неравенство \(\left| {\dfrac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 2}}} \right| \ge \left| x \right| + \dfrac{2}{{\left| {x + 2} \right|}}\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left[ {0;\;\infty } \right).\)
\(\left| {\dfrac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 2}}} \right| \ge \left| x \right| + \dfrac{2}{{\left| {x + 2} \right|}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left| {{x^2} + 2x + 2} \right|}}{{\left| {x + 2} \right|}} \ge \left| x \right| + \dfrac{2}{{\left| {x + 2} \right|}}.\) Так как дискриминант квадратного трёхчлена \({x^2} + 2x + 2\) отрицательный, то \({x^2} + 2x + 2 > 0\) при \(x \in R.\) Поэтому полученное неравенство примет вид: \(\dfrac{{{x^2} + 2x + 2}}{{\left| {x + 2} \right|}} \ge \left| x \right| + \dfrac{2}{{\left| {x + 2} \right|}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{{{x^2} + 2x + 2}}{{\left| {x + 2} \right|}}-\dfrac{2}{{\left| {x + 2} \right|}} \ge \left| x \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left| {x + 2} \right|}} \ge \left| x \right|.\) Решим последнее неравенство методом интервалов: \(\dfrac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left| {x + 2} \right|}} \ge \left| x \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,\;\,}\\{-x \ge -x}\end{array}\;\;\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 < x < 0,}\\{x \ge -x\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,}\\{x \ge x\,}\end{array}\;\;\;\;\;\;\,\,} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,}\\{0 \ge 0\;\;\,\,}\end{array}\;\;\;\;\,\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 < x < 0,}\\{x \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,}\\{0 \ge 0\,}\end{array}\;\;\;\;\;\;\,\,} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-2} \right),}\\{\emptyset ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \in \left[ {0;\infty } \right)\,\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left[ {0;\infty } \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left[ {0;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left[ {0;\;\infty } \right).\)