\(\left| {{x^2}-5\left| x \right| + 4} \right| \ge \left| {2{x^2}-3\left| x \right| + 1} \right|.\)
Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| \ge \left| {g\left( x \right)} \right|\) решается возведением обеих частей неравенства в квадрат (это допустимо, так как обе части неравенства неотрицательны):
\({f^2}\left( x \right) \ge {g^2}\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{f^2}\left( x \right)-{g^2}\left( x \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right)\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) \ge 0.\)
\(\left| {{x^2}-5\left| x \right| + 4} \right| \ge \left| {2{x^2}-3\left| x \right| + 1} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^2}-5\left| x \right| + 4} \right)^2} \ge {\left( {2{x^2}-3\left| x \right| + 1} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^2}-5\left| x \right| + 4} \right)^2}-{\left( {2{x^2}-3\left| x \right| + 1} \right)^2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-5\left| x \right| + 4-2{x^2} + 3\left| x \right|-1} \right)\left( {{x^2}-5\left| x \right| + 4 + 2{x^2}-3\left| x \right| + 1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\left| x \right|}^2} + 2\left| x \right|-3} \right)\left( {3{{\left| x \right|}^2}-8\left| x \right| + 5} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\left| x \right|-1} \right)\left( {\left| x \right| + 3} \right)\left( {\left| x \right|-1} \right)\left( {\left| x \right|-\frac{5}{3}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x-1} \right)^2}\left( {x-\dfrac{5}{3}} \right)\left( {x + \dfrac{5}{3}} \right) \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-\dfrac{5}{3};\;\dfrac{5}{3}} \right].\)
Ответ: \(\left[ {-\dfrac{5}{3};\;\dfrac{5}{3}} \right].\)