39В. Решите неравенство  \(\left| {\left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right|-2} \right| < 1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\;3} \right) \cup \left( {3;\;5} \right).\)

Решение

\(\left| {\left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right|-2} \right| < 1.\)

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| < a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно двойному неравенству:

\(-a < f\left( x \right) < a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) < a,\;\,}\\{f\left( x \right) > -a.}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right|-2} \right| < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1 < \left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right|-2 < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right|-2 < 1,\;\,}\\{\left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right|-2 > -1}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right| < 3,}\\{\left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right| > 1.}\end{array}} \right.\)

Решим первое неравенство системы.

\(\left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right| < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-3 < \left| {x-3} \right| + 1 < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x-3} \right| + 1 < 3,\,\,}\\{\left| {x-3} \right| + 1 > -3}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x-3} \right| < 2,\;}\\{\left| {x-3} \right| > -4}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 < x-3 < 2,\;}\\{x \in R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;1 < x < 5\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {1;5} \right).\)

Решим второе неравенство системы.

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| > a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно совокупности:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) < -a,\;\,}\\{f\left( x \right) > a.\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right| > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x-3} \right| + 1 > 1,\;}\\{\left| {x-3} \right| + 1 < -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x-3} \right| > 0,\;\,}\\{\left| {x-3} \right| < -2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3,}\\{\emptyset \;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;3} \right) \cup \left( {3;\infty } \right).} \right.\)

Следовательно:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right| < 3,}\\{\left| {\left| {x-3} \right| + 1} \right| > 1\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {1;5} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;3} \right) \cup \left( {3;\infty } \right)}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {1;\;3} \right) \cup \left( {3;\;5} \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {1;\;3} \right) \cup \left( {3;\;5} \right).\)

Ответ:  \(\left( {1;\;3} \right) \cup \left( {3;\;5} \right).\)