4В. Решите неравенство \(\left| {x + 7} \right| < \left| {{x^2}-3x + 2} \right|\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left( {5;\;\infty } \right).\)
\(\left| {x + 7} \right| < \left| {{x^2}-3x + 2} \right|.\) Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| < \left| {g\left( x \right)} \right|\) решается возведением обеих частей неравенства в квадрат (это допустимо, так как обе части неравенства неотрицательны): \({f^2}\left( x \right) < {g^2}\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{f^2}\left( x \right)-{g^2}\left( x \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right)\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) < 0.\) \(\left| {x + 7} \right| < \left| {{x^2}-3x + 2} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x + 7} \right)^2} < {\left( {{x^2}-3x + 2} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x + 7} \right)^2}-{\left( {{x^2}-3x + 2} \right)^2} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 7 + {x^2}-3x + 2} \right)\left( {x + 7-{x^2} + 3x-2} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-2x + 9} \right)\left( {{x^2}-4x-5} \right) > 0.\) Так как дискриминант квадратного трёхчлена \({x^2}-2x + 9\) равен \(D = 4-36 = -32,\) то \({x^2}-2x + 9 > 0\) при \(x \in R.\) Поэтому: \(\left( {{x^2}-2x + 9} \right)\left( {{x^2}-4x-5} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-4x-5 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left( {5;\;\infty } \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left( {5;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left( {5;\;\infty } \right).\)