40В. Решите неравенство  \(\left| {\left| {\left| {x-4} \right| + 2} \right|-3} \right| \ge 1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;2} \right] \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left[ {6;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\left| {\left| {\left| {x-4} \right| + 2} \right|-3} \right| \ge 1.\)

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| \ge a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно совокупности:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le -a,\;\,}\\{f\left( x \right) \ge a.\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\left| {\left| {x-4} \right| + 2} \right|-3} \right| \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\left| {x-4} \right| + 2} \right|-3 \le -1,}\\{\left| {\left| {x-4} \right| + 2} \right|-3 \ge 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\left| {x-4} \right| + 2} \right| \le 2,}\\{\left| {\left| {x-4} \right| + 2} \right| \ge 4.}\end{array}} \right.\)

Решим первое неравенство системы.

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно двойному неравенству:

\(-a \le f\left( x \right) \le a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le a,\;\,}\\{f\left( x \right) \ge -a.}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\left| {x-4} \right| + 2} \right| \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 \le \left| {x-4} \right| + 2 \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x-4} \right| + 2 \le 2,\,\,}\\{\left| {x-4} \right| + 2 \ge -2}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x-4} \right| \le 0,\,\,}\\{\left| {x-4} \right| \ge -4}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-4 = 0,}\\{x \in R\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 4.\)

Решим второе неравенство системы.

\(\left| {\left| {x-4} \right| + 2} \right| \ge 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x-4} \right| + 2 \ge 4,\;}\\{\left| {x-4} \right| + 2 \le -4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x-4} \right| \ge 2,\;}\\{\left| {x-4} \right| \le -6}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-4 \ge 2,\;\;}\\{x-4 \le -2,}\\{\emptyset \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 6,}\\{x \le 2\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow x \in \left( {-\infty ;\;2} \right] \cup \left[ {6;\;\infty } \right).} \right.\)

Следовательно:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\left| {x-4} \right| + 2} \right| \le 2,}\\{\left| {\left| {x-4} \right| + 2} \right| \ge 4\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left( {-\infty ;\;2} \right] \cup \left[ {6;\;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;\;2} \right] \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left[ {6;\;\infty } \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;2} \right] \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left[ {6;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;2} \right] \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left[ {6;\;\infty } \right).\)