Профиль №15. Неравенства с модулями. Задача 7В

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;\infty } \right).\)

\(\left| {{x^3}-8} \right| \le {x^3} + 8x + 8.\)

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le g\left( x \right)\)  равносильно двойному неравенству:

\(-g\left( x \right) \le f\left( x \right) \le g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) \ge -g\left( x \right).}\end{array}} \right.\)

\(\left| {{x^3}-8} \right| \le {x^3} + 8x + 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-8 \le {x^3} + 8x + 8,\,}\\{{x^3}-8 \ge -{x^3}-8x-8}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x \ge -16,\;\;\;\,}\\{2{x^3} + 8x \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -2,\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\,}\\{x\left( {2{x^2} + 8} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -2,}\\{x \ge 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge 0.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {0;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left[ {0;\;\infty } \right).\)