7В. Решите неравенство \(\left| {{x^3}-8} \right| \le {x^3} + 8x + 8\).
ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;\infty } \right).\)
\(\left| {{x^3}-8} \right| \le {x^3} + 8x + 8.\) Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le g\left( x \right)\) равносильно двойному неравенству: \(-g\left( x \right) \le f\left( x \right) \le g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) \ge -g\left( x \right).}\end{array}} \right.\) \(\left| {{x^3}-8} \right| \le {x^3} + 8x + 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-8 \le {x^3} + 8x + 8,\,}\\{{x^3}-8 \ge -{x^3}-8x-8}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x \ge -16,\;\;\;\,}\\{2{x^3} + 8x \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -2,\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\,}\\{x\left( {2{x^2} + 8} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -2,}\\{x \ge 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge 0.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {0;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {0;\;\infty } \right).\)