8В. Решите неравенство \(\left| {{x^3}-1} \right| > 1-x\).
\(\left| {{x^3}-1} \right| > 1-x.\) Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| > g\left( x \right)\) равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) < -g\left( x \right),}\\{f\left( x \right) > g\left( x \right).\;\;}\end{array}} \right.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-1 < -1 + x,}\\{{x^3}-1 > 1-x\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-x < 0,\;\;\,\;\;\,}\\{{x^3} + x-2 > 0.}\end{array}} \right.\) Кандидатами в целые корни второго кубического неравенства совокупности являются делители свободного члена, равного \(-2,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\,\, \pm 2.\) Подходит \(x = 1.\) Разделим многочлен \({x^3} + x-2\) на многочлен \(x-1:\) Следовательно, многочлен \({x^3} + x-2\) раскладывается на множители \(\left( {x-1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right).\) Тогда: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-x < 0,\;\;\,\;\,}\\{{x^3} + x-2 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {{x^2}-1} \right) < 0,\;\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left( {x-1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) > 0.}\end{array}} \right.\;\) Так как дискриминант квадратного трёхчлена \({x^2} + x + 2\) равен \(D = 1-8 = -7,\) то \({x^2} + x + 2 > 0\) при \(x \in R.\) Поэтому: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {{x^2}-1} \right) < 0,\;\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x-1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) < 0,}\\{x-1 > 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Решим первое неравенство полученной совокупности: \(x\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) < 0.\) Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {0;1} \right).\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) < 0,}\\{x > 1\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {0;1} \right),}\\{x \in \left( {1;\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\)
