9В. Решите неравенство \(\left| {\frac{{2x + 3}}{{x + 2}}} \right| < x\).
\(\left| {\frac{{2x + 3}}{{x + 2}}} \right| < x.\) Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| < g\left( x \right)\) равносильно двойному неравенству: \(-g\left( x \right) < f\left( x \right) < g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) < g\left( x \right),\;\,}\\{f\left( x \right) > -g\left( x \right).}\end{array}} \right.\) \(\left| {\frac{{2x + 3}}{{x + 2}}} \right| < x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-x < \frac{{2x + 3}}{{x + 2}} < x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2x + 3}}{{x + 2}} < x,\;}\\{\frac{{2x + 3}}{{x + 2}} > -x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2x + 3-{x^2}-2x}}{{x + 2}} < 0,}\\{\frac{{2x + 3 + {x^2} + 2x}}{{x + 2}} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-3}}{{x + 2}} > 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\left( {x-\sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{x + 2}} > 0,}\\{\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 2}} > 0.\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим первое неравенство полученной системы: \(\frac{{\left( {x-\sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{x + 2}} > 0.\) Следовательно, \(x \in \left( {-2;-\sqrt 3 } \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\infty } \right).\) Решим второе неравенство полученной системы: \(\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 2}} > 0.\) Следовательно, \(x \in \left( {-3;-2} \right) \cup \left( {-1;\infty } \right).\) Найдём решение полученной системы: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\sqrt 3 ;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {\sqrt 3 ;\;\infty } \right).\)
