Профиль №15. Показательные неравенства. Задача 13В

ОТВЕТ: \(\left[ {1;{{\log }_2}5} \right].\)

\({2^{2x-1}}-7 \cdot {2^{x-1}} + 5 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{2^{2x}}}}{2}-\dfrac{7}{2} \cdot {2^x} + 5 \le 0\left| { \cdot 2} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{2^{2x}}-7 \cdot {2^x} + 10 \le 0.\)

Пусть  \({2^x} = t.\)  Тогда неравенство примет вид:  \({t^2}-7t + 10 \le 0.\)

\({t^2}-7t + 10 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,}\\{{t} = 5.}\end{array}} \right.\)

\({t^2}-7t + 10 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-2} \right)\left( {t-5} \right) \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(2 \le t \le 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^1} \le {2^x} \le {2^{{{\log }_2}5}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 \le x \le {\log _2}5.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {1;{{\log }_2}5} \right].\)

Ответ:  \(\left[ {1;{{\log }_2}5} \right].\)