15В. Решите неравенство \({2^x} + 5 \cdot {2^{2-x}} \le 12\).
\({2^x} + 5 \cdot {2^{2-x}} \le 12\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^x} + \frac{{5 \cdot {2^2}}}{{{2^x}}}-12 \le 0\left| { \cdot {2^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{2^x}} \right)^2}-12 \cdot {2^x} + 20 \le 0.\) Пусть \({2^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-12t + 20 \le 0.\) \({t^2}-12t + 20 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\;\,}\\{{t} = 10.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-12t + 20 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-2} \right)\left( {t-10} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(2 \le t \le 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^1} \le {2^x} \le {2^{{{\log }_2}10}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 \le x \le {\log _2}10.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {1;{{\log }_2}10} \right].\) Ответ: \(\left[ {1;{{\log }_2}10} \right].\)