Профиль №15. Показательные неравенства. Задача 18В

18В. Решите неравенство \({20^x}-64 \cdot {5^x}-{4^x} + 64 \le 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;3} \right].\)

Решение

\({20^x}-64 \cdot {5^x}-{4^x} + 64 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^x}\left( {{4^x}-64} \right)-\left( {{4^x}-64} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{5^x}-1} \right)\left( {{4^x}-64} \right) \le 0.\)

Решим последнее неравенство методом интервалов:

\(\left( {{5^x}-1} \right)\left( {{4^x}-64} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x} = 1,\;\,}\\{{4^x} = 64}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x} = {5^0},}\\{{4^x} = {4^3}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,}\\{x = 3.\,}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {0;\;3} \right].\)

Ответ: \(\left[ {0;\;3} \right].\)