19В. Решите неравенство \({2^{{x^2}}} + 9 \cdot {2^{1\;-\;{x^2}}} \ge 19\).
\({2^{{x^2}}} + 9 \cdot {2^{1-{x^2}}} \ge 19\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{{x^2}}} + \frac{{9 \cdot 2}}{{{2^{{x^2}}}}}-19 \ge 0\left| { \cdot {2^{{x^2}}} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{2{x^2}}}-19 \cdot {2^{{x^2}}} + 18 \ge 0.\) Пусть \({2^{{x^2}}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-19t + 18 \ge 0.\) \({t^2}-19t + 18 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,\;\,}\\{{t} = 18.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-19t + 18 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-1} \right)\left( {t-18} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 1,\;}\\{t \ge 18}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{{x^2}}} \le {2^0},\,\,\,\,\,\,}\\{{2^{{x^2}}} \ge {2^{{{\log }_2}18}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} \le 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} \ge {{\log }_2}18}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\;\;\;\,\;\;\;\,\,\;\;\;\,\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -\sqrt {{{\log }_2}18} ,}\\{x \ge \sqrt {{{\log }_2}18} \,\,\,\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\,\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -\sqrt {1 + 2{{\log }_2}3} ,}\\{x \ge \sqrt {1 + 2{{\log }_2}3} .\,\,\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;-\sqrt {1 + 2{{\log }_2}3} } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\sqrt {1 + 2{{\log }_2}3;\infty } } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-\sqrt {1 + 2{{\log }_2}3} } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\sqrt {1 + 2{{\log }_2}3;\infty } } \right).\)