20В. Решите неравенство \({3^{{x^2}}} + 2 \cdot {3^{1\;-\;{x^2}}} \ge 7\).
\({3^{{x^2}}} + 2 \cdot {3^{1-{x^2}}} \ge 7\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{{x^2}}} + \frac{{2 \cdot 3}}{{{3^{{x^2}}}}}-7 \ge 0\left| { \cdot {3^{{x^2}}}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2{x^2}}}-7 \cdot {3^{{x^2}}} + 6 \ge 0.\) Пусть \({3^{{x^2}}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-7t + 6 \ge 0.\) \({t^2}-7t + 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,}\\{{t} = 6.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-7t + 6 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-1} \right)\left( {t-6} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 1,}\\{t \ge 6}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{{x^2}}} \le {3^0},\,\,\,\,\,\,}\\{{3^{{x^2}}} \ge {3^{{{\log }_3}6}}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} \le 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} \ge {{\log }_3}6\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\;\;\;\,\;\,\,\;\;\;\,\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -\sqrt {{{\log }_3}6} ,}\\{x \ge \sqrt {{{\log }_3}6} \,\,\,\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,\;\;\;\,\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -\sqrt {1 + {{\log }_3}2} ,}\\{x \ge \sqrt {1 + {{\log }_3}2} .\,\,\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \,\left( {-\infty ;-\sqrt {1 + {{\log }_3}2} } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\sqrt {1 + {{\log }_3}2;\infty } } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-\sqrt {1 + {{\log }_3}2} } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\sqrt {1 + {{\log }_3}2;\infty } } \right).\)