21В. Решите неравенство \({25^x}-{20^x}-2 \cdot {16^x} \le 0\).
\({25^x}-{20^x}-2 \cdot {16^x} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{25^x}-{20^x}-2 \cdot {16^x} \le 0\left| {:{{16}^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{{25}}{{16}}} \right)^x}-{\left( {\frac{{20}}{{16}}} \right)^x}-2 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{5}{4}} \right)^{2x}}-{\left( {\frac{5}{4}} \right)^x}-2 \le 0.\) Пусть \({\left( {\frac{5}{4}} \right)^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-t-2 \le 0.\) \({t^2}-t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -1,}\\{{t} = 2.\,\,\,}\end{array}} \right.\) \({t^2}-t-2 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + 1} \right)\left( {t-2} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(-1 \le t \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1 \le {\left( {\frac{5}{4}} \right)^x} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{5}{4}} \right)^x} \le {\left( {\frac{5}{4}} \right)^{{{\log }_{\frac{5}{4}}}2}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le {\log _{\frac{5}{4}}}2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le {\log _{1,25}}2.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;{{\log }_{1,25}}2} \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;{{\log }_{1,25}}2} \right].\)