24В. Решите неравенство \({16^x}-{12^x}-2 \cdot {9^x} \ge 0\).
\({16^x}-{12^x}-2 \cdot {9^x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{16^x}-{12^x}-2 \cdot {9^x} \ge 0\left| {:{9^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{{16}}{9}} \right)^x}-{\left( {\frac{{12}}{9}} \right)^x}-2 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2x}}-{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x}-2 \ge 0.\) Пусть \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-t-2 \ge 0.\) \({t^2}-t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -1,}\\{{t} = 2.\,\,\,}\end{array}} \right.\) \({t^2}-t-2 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + 1} \right)\left( {t-2} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -1,}\\{t \ge 2\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^x} \le -1,}\\{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^x} \ge 2\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^x} \ge {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{{{\log }_{\frac{4}{3}}}2}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge {\log _{\frac{4}{3}}}2.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {{{\log }_{\frac{4}{3}}}2;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {{{\log }_{\frac{4}{3}}}2;\;\infty } \right).\)