29В. Решите неравенство  \(\frac{{{8^{-x}}-5 \cdot {{0,5}^x}}}{{{2^{-x}}-{2^{x + 4}}}} \ge 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left[ {-{{\log }_4}5;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{{{8^{-x}}-5 \cdot {{0,5}^x}}}{{{2^{-x}}-{2^{x + 4}}}} \ge 0.\)

Решим исходное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

\({8^{-x}}-5 \cdot {0,5^x} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{8^{-x}}-5 \cdot {2^{-x}} = 0\left| {:{2^{-x}} \ne 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^{-x}}-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\,\;{4^{-x}} = {4^{{{\log }_4}5}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -{\log _4}5.\)

Найдём нули знаменателя:

\({2^{-x}}-{2^{x + 4}} \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{-x}} \ne {2^{x + 4}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-x \ne 4 + x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne -2.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:   \(x \in \,\left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left[ {-{{\log }_4}5;\;\infty } \right).\)

Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left[ {-{{\log }_4}5;\;\infty } \right).\)