Профиль №15. Показательные неравенства. Задача 3В

ОТВЕТ: \(\left( {-{{\log }_3}12;\;\infty } \right).\)

\(\dfrac{1}{{{3^{x-1}}}} + \dfrac{1}{{{3^x}}} + \dfrac{1}{{{3^{x + 1}}}} < 52\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{3}{{{3^x}}} + \dfrac{1}{{{3^x}}} + \dfrac{1}{{3 \cdot {3^x}}} < 52\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{4}{{{3^x}}} + \dfrac{1}{{3 \cdot {3^x}}} < 52\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{12 + 1-156 \cdot {3^x}}}{{3 \cdot {3^x}}} < 0\left| { \cdot \left( {3 \cdot {3^x}} \right) > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;13-156 \cdot {3^x} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;12 \cdot {3^x} > 1\,\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^x} > \dfrac{1}{{12}}\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;{3^x} > {3^{{{\log }_3}\dfrac{1}{{12}}}}\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;x > {\log _3}\dfrac{1}{{12}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;x > -{\log _3}12.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-{{\log }_3}12;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-{{\log }_3}12;\;\infty } \right).\)