31В. Решите неравенство \(\frac{{{{35}^{\left| x \right|}}-{5^{\left| x \right|}}-5 \cdot {7^{\left| x \right|}} + 5}}{{{2^{\sqrt {x + 2} }} + 1}} \ge 0\).
\(\frac{{{{35}^{\left| x \right|}}-{5^{\left| x \right|}}-5 \cdot {7^{\left| x \right|}} + 5}}{{{2^{\sqrt {x + 2} }} + 1}} \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(x + 2 \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge -2.\) Так как \({2^{\sqrt {x + 2} }} + 1 > 0\) при \(x \ge -2,\) то исходное неравенство равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{35}^{\left| x \right|}}-{5^{\left| x \right|}}-5 \cdot {7^{\left| x \right|}} + 5 \ge 0,}\\{x \ge -2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим первое неравенство системы: \({35^{\left| x \right|}}-{5^{\left| x \right|}}-5 \cdot {7^{\left| x \right|}} + 5 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{\left| x \right|}} \cdot \left( {{7^{\left| x \right|}}-1} \right)-5 \cdot \left( {{7^{\left| x \right|}}-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{5^{\left| x \right|}}-5} \right)\left( {{7^{\left| x \right|}}-1} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left( {{5^{\left| x \right|}}-5} \right)\left( {{7^{\left| x \right|}}-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{\left| x \right|}} = {5^1},}\\{{7^{\left| x \right|}} = {7^0}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| x \right| = 1,}\\{\left| x \right| = 0}\end{array}\;\;\;} \right. \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm 1,}\\{x = 0.\;\,}\end{array}} \right.\) Таким образом, \(x \in \,\left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x \ge -2,\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \,\left[ {-2;\;-1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {-2;\;-1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)