ЕГЭ Профиль. Показательные неравенства. Задача 31В

ОТВЕТ: \(\left[ {-2;\;-1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)

\(\dfrac{{{{35}^{\left| x \right|}}-{5^{\left| x \right|}}-5 \cdot {7^{\left| x \right|}} + 5}}{{{2^{\sqrt {x + 2} }} + 1}} \ge 0.\)

Запишем ОДЗ:  \(x + 2 \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge -2.\)

Так как  \({2^{\sqrt {x + 2} }} + 1 > 0\)  при  \(x \ge -2,\)  то  исходное неравенство равносильно системе: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{35}^{\left| x \right|}}-{5^{\left| x \right|}}-5 \cdot {7^{\left| x \right|}} + 5 \ge 0,}\\{x \ge -2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Решим первое неравенство системы:

\({35^{\left| x \right|}}-{5^{\left| x \right|}}-5 \cdot {7^{\left| x \right|}} + 5 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{\left| x \right|}} \cdot \left( {{7^{\left| x \right|}}-1} \right)-5 \cdot \left( {{7^{\left| x \right|}}-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{5^{\left| x \right|}}-5} \right)\left( {{7^{\left| x \right|}}-1} \right) \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left( {{5^{\left| x \right|}}-5} \right)\left( {{7^{\left| x \right|}}-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{\left| x \right|}} = {5^1},}\\{{7^{\left| x \right|}} = {7^0}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| x \right| = 1,}\\{\left| x \right| = 0}\end{array}\;\;\;} \right. \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  \pm 1,}\\{x = 0.\;\,}\end{array}} \right.\)

Таким образом,  \(x \in \,\left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\infty } \right).\)

Так как ОДЗ  \(x \ge -2,\)  то решение исходного неравенства будет иметь вид:

\(x \in \,\left[ {-2;\;-1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left[ {-2;\;-1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)