32В. Решите неравенство \(\frac{{{3^{{x^2} + x}}-4 \cdot {{\sqrt 3 }^{{x^2} + x}} + 3}}{{\sqrt x -\sqrt {x + 4} }} \le 0\).
\(\frac{{{3^{{x^2} + x}}-4 \cdot {{\sqrt 3 }^{{x^2} + x}} + 3}}{{\sqrt x -\sqrt {x + 4} }} \le 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\;\;\;\;}\\{x + 4 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge 0.\) Так как \(\sqrt x < \sqrt {x + 4} \) при \(x \ge 0,\) то \(\sqrt x -\sqrt {x + 4} < 0.\) Поэтому исходное неравенство равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{{x^2} + x}}-4 \cdot {{\sqrt 3 }^{{x^2} + x}} + 3 \ge 0,}\\{x \ge 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим первое неравенство системы. Пусть \({\sqrt 3 ^{{x^2} + x}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-4t + 3 \ge 0.\) \({t^2}-4t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\,}\\{{t} = 3.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-4t + 3 \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-1} \right)\left( {t-3} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 1,\,}\\{t \ge 3\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\sqrt 3 }^{{x^2} + x}} \le 1,}\\{{{\sqrt 3 }^{{x^2} + x}} \ge 3\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\sqrt 3 }^{{x^2} + x}} \le {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^0},}\\{{{\sqrt 3 }^{{x^2} + x}} \ge {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x \le 0,\;\;\;\;\,}\\{{x^2} + x-2 \ge 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x + 1} \right) \le 0,\;\;\,\,\,\;\;\;\,}\\{\left( {x-1} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \le -2,\;\;\;\;x \ge 1\,\,}\end{array}\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {-1;0} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x \ge 0,\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \,\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\infty } \right).\)