33В. Решите неравенство \(\left( {{3^{x + 2}} + {3^{2\;-\;x}}} \right){x^2} \ge \dfrac{{45{x^2}}}{2}\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-{{\log }_3}2} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {{{\log }_3}2;\infty } \right).\)
\(\left( {{3^{x + 2}} + {3^{2\;-\;x}}} \right){x^2} \ge \dfrac{{45{x^2}}}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{3^{x + 2}} + {3^{2\;-\;x}}} \right){x^2}-\dfrac{{45{x^2}}}{2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {9 \cdot {3^x} + \dfrac{9}{{{3^x}}}} \right){x^2}-\dfrac{{45{x^2}}}{2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}\left( {9 \cdot {3^x} + \dfrac{9}{{{3^x}}}-\dfrac{{45}}{2}} \right) \ge 0.\) Так как \({x^2} \ge 0,\) то последнее неравенство равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 0,\,\,\,\,\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{9 \cdot {3^x} + \dfrac{9}{{{3^x}}}-\dfrac{{45}}{2} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{9 \cdot {3^x} + \dfrac{9}{{{3^x}}}-\dfrac{{45}}{2} \ge 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим неравенство: \(9 \cdot {3^x} + \dfrac{9}{{{3^x}}}-\dfrac{{45}}{2} \ge 0\left| { \cdot {3^x} > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,9 \cdot {{\left( {{3^x}} \right)}^2}-\dfrac{{45}}{2}} \right. \cdot {3^x} + 9 \ge 0.\) Пусть \({3^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(9{t^2}-\dfrac{{45}}{2}t + 9 \ge 0\left| {:\dfrac{9}{2}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{t^2}-5t + 2 \ge 0.\) \(2{t^2}-5t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \dfrac{1}{2},}\\{{t} = 2.\,}\end{array}} \right.\) \(2{t^2}-5t + 2 \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2t-1} \right)\left( {t-2} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le \dfrac{1}{2},}\\{t \ge 2\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \le \dfrac{1}{2},}\\{{3^x} \ge 2\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \le {3^{{{\log }_3}\dfrac{1}{2}}},}\\{{3^x} \ge {3^{{{\log }_3}2}}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le {{\log }_3}\dfrac{1}{2},}\\{x \ge {{\log }_3}2\,\,\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -{{\log }_3}2,}\\{x \ge {{\log }_3}2.\;\;\,}\end{array}} \right.} \right.\) Следовательно, решением исходного неравенства является совокупность: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-{{\log }_3}2} \right] \cup \left[ {{{\log }_3}2;\infty } \right).}\end{array}} \right.\) Таким образом: \(x \in \,\left( {-\infty ;-{{\log }_3}2} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {{{\log }_3}2;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-{{\log }_3}2} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {{{\log }_3}2;\infty } \right).\) 