37В. Решите неравенство \({8^x}-3 \cdot {4^x} + \dfrac{{9 \cdot {4^x}-288}}{{{2^x}-9}} \le 32\).
ОТВЕТ: \(\left\{ 1 \right\} \cup \left[ {3;\;{{\log }_2}9} \right).\)
\({8^x}-3 \cdot {4^x} + \dfrac{{9 \cdot {4^x}-288}}{{{2^x}-9}} \le 32.\) Пусть \({2^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^3}-3{t^2} + \dfrac{{9{t^2}-288}}{{t-9}} \le 32\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^4}-9{t^3}-3{t^3} + 27{t^2} + 9{t^2}-288-32t + 288}}{{t-9}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^4}-12{t^3} + 36{t^2}-32t}}{{t-9}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t\left( {{t^3}-12{t^2} + 36t-32} \right)}}{{t-9}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя: \(t = 0,\;\;\;\;{t^3}-12{t^2} + 36t-32 = 0.\) Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-32,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 4;\,\,\, \pm 8;\,\,\, \pm 16;\,\,\, \pm 32.\) Подходит \(t = 2.\) Разделим многочлен \({t^3}-12{t^2} + 36t-32\) на многочлен \(t-2:\) Следовательно, многочлен \({t^3}-12{t^2} + 36t-32\) раскладывается на множители \(\left( {{t^2}-10t + 16} \right)\left( {t-2} \right).\) Тогда: \(\left( {t-2} \right)\left( {{t^2}-10t + 16} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t-2 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t^2}-10t + 16 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,}\\{t = 2,}\\{t = 8.\,}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(t = 9.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 0,\;\;\;\;}\\{t = 2,\;\;\;\;}\\{8 \le t < 9}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} \le 0,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{2^x} = {2^1},\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{2^3} \le {2^x} < {2^{{{\log }_2}9}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3 \le x < {{\log }_2}9\,}\end{array}} \right.\;\;\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3 \le x < {{\log }_2}9.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \,\left\{ 1 \right\} \cup \left[ {3;\;{{\log }_2}9} \right).\) Ответ: \(\left\{ 1 \right\} \cup \left[ {3;\;{{\log }_2}9} \right).\) 
