38В. Решите неравенство \({125^x}-{25^x} + \frac{{4 \cdot {{25}^x}-20}}{{{5^x}-5}} \le 4\).
\({125^x}-{25^x} + \frac{{4 \cdot {{25}^x}-20}}{{{5^x}-5}} \le 4.\) Пусть \({5^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^3}-{t^2} + \frac{{4{t^2}-20}}{{t-5}} \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^4}-5{t^3}-{t^3} + 5{t^2} + 4{t^2}-20-4t + 20}}{{t-5}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^4}-6{t^3} + 9{t^2}-4t}}{{t-5}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t\left( {{t^3}-6{t^2} + 9t-4} \right)}}{{t-5}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя: \(t = 0,\;\;\;\;{t^3}-6{t^2} + 9t-4\, = 0.\) Кандидатами в целые корни полученного уравнения четвёртой степени являются делители свободного члена, равного \(-4,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 4.\) Подходит \(t = 1.\) Разделим многочлен \({t^3}-6{t^2} + 9t-4\) на многочлен \(t-1:\) Следовательно, многочлен \({t^3}-6{t^2} + 9t-4\) раскладывается на множители \(\left( {t-1} \right)\left( {{t^2}-5t + 4} \right).\) Тогда: \(\left( {t-1} \right)\left( {{t^2}-5t + 4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t-1 = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{{t^2}-5t + 4 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\,}\\{t = 1,\,}\\{t = 4.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(t \ne 5.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 0,\;\;\;\;}\\{t = 1,\;\;\;\;}\\{4 \le t < 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x} \le 0,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{5^x} = {5^0},\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{5^{{{\log }_5}4}} \le {5^x} < {5^1}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_5}4 \le x < 1\,}\end{array}} \right.\;\;\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_5}4 \le x < 1.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \,\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {{{\log }_5}4;\;1} \right).\) Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {{{\log }_5}4;\;1} \right).\)
