40В. Решите неравенство \(\frac{{{8^{x\,\, + \,\,1}}-40}}{{2 \cdot {{64}^x}-32}} \le 1\).
\(\frac{{{8^{x + 1}}-40}}{{2 \cdot {{64}^x}-32}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{8 \cdot {8^x}-40}}{{2 \cdot {8^{2x}}-32}}-1 \le 0.\) Пусть \({8^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\frac{{8t-40}}{{2{t^2}-32}}-1 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{4t-20}}{{{t^2}-16}}-1 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{4t-20-{t^2} + 16}}{{{t^2}-16}} \le 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-4t + 4}}{{{t^2}-16}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {t-2} \right)}^2}}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t + 4} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < -4,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,\,\,\,}\\{t > 4\,\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{8^x} < -4,\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{8^x} = 2,\,\,\,\,}\\{{8^x} > 4\,\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{8^x} < -4,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{3x}} = {2^1},}\\{{2^{3x}} > {2^2}}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{3},}\\{x > \frac{2}{3}\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{3},}\\{x > \frac{2}{3}.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \,\left\{ {\frac{1}{3}} \right\} \cup \left( {\frac{2}{3};\infty } \right).\) Ответ: \(\left\{ {\frac{1}{3}} \right\} \cup \left( {\frac{2}{3};\infty } \right).\)