41В. Решите неравенство \(\dfrac{{3-{{0,25}^x}}}{{2-{2^{-x}}}} \ge 1,5\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left[ {{{\log }_2}\dfrac{2}{3};\infty } \right).\)
\(\dfrac{{3-{{0,25}^x}}}{{2-{2^{-x}}}} \ge 1,5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3-{{0,5}^{2x}}}}{{2-{{0,5}^x}}} \ge 1,5.\) Пусть \({0,5^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\dfrac{{3-{t^2}}}{{2-t}}-\dfrac{3}{2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{6-2{t^2}-6 + 3t}}{{\left( {2-t} \right)2}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{-2{t^2} + 3t}}{{2\left( {2-t} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{t^2}-3t}}{{2\left( {t-2} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t\left( {2t-3} \right)}}{{2\left( {t-2} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le t \le \dfrac{3}{2},}\\{t > 2\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{0,5}^x} \ge 0,}\\{{{0,5}^x} \le \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.}\\{{{0,5}^x} > 2\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{0,5}^x} \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{{0,5}^x} \le {{0,5}^{{{\log }_{0,5}}\dfrac{3}{2}}}}\end{array}} \right.}\\{{{0,5}^x} > {{0,5}^{-1}}\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{x \ge {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.}\\{x < -1.\;\;\,\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge {{\log }_2}\dfrac{2}{3},}\\{x < -1.\;\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left[ {{{\log }_2}\dfrac{2}{3};\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left[ {{{\log }_2}\dfrac{2}{3};\infty } \right).\) 