42В. Решите неравенство \(\dfrac{{3-{4^x}}}{{2-{2^x}}} \ge \dfrac{3}{2}\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;{{\log }_2}\dfrac{3}{2}} \right] \cup \left( {1;\infty } \right).\)
\(\dfrac{{3-{4^x}}}{{2-{2^x}}} \ge \dfrac{3}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3-{2^{2x}}}}{{2-{2^x}}} \ge \dfrac{3}{2}.\) Пусть \({2^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\dfrac{{3-{t^2}}}{{2-t}}-\dfrac{3}{2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{6-2{t^2}-6 + 3t}}{{2\left( {2-t} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{t^2}-3t}}{{2\left( {t-2} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t\left( {2t-3} \right)}}{{2\left( {t-2} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le t \le \dfrac{3}{2},}\\{t > 2\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} \ge 0,}\\{{2^x} \le \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.}\\{{2^x} > 2\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{2^x} \le {2^{{{\log }_2}\dfrac{3}{2}}}\,\,\;\;\,}\end{array}} \right.}\\{{2^x} > {2^1}\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{x \le {{\log }_2}\dfrac{3}{2}\,\,\,\,}\end{array}} \right.}\\{x > 1\,\,\,\,\,\,\;\;\,\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le {{\log }_2}\dfrac{3}{2},}\\{x > 1.\,\;\;\,\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;{{\log }_2}\dfrac{3}{2}} \right] \cup \left( {1;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;{{\log }_2}\dfrac{3}{2}} \right] \cup \left( {1;\infty } \right).\) 