43В. Решите неравенство  \(\frac{{11-{5^{x\, + \,1}}}}{{{{25}^x}-5\left( {35 \cdot {5^{x\;-\;2}}-2} \right)}} \ge 1,5\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {0;\;{{\log }_5}2} \right) \cup \left[ {{{\log }_5}\frac{8}{3};\;1} \right).\)

Решение

\(\frac{{11-{5^{x\, + \,1}}}}{{{{25}^x}-5\left( {35 \cdot {5^{x\;-\;2}}-2} \right)}} \ge 1,5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{11-5 \cdot {5^{x\,}}}}{{{5^{2x}}-5\left( {\frac{{35 \cdot {5^{x\;}}}}{{25}}-2} \right)}} \ge 1,5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{11-5 \cdot {5^{x\,}}}}{{{5^{2x}}-7 \cdot {5^{x\;}} + 10}} \ge 1,5.\)

Пусть  \({5^x} = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\(\frac{{11-5t}}{{{t^2}-7t + 10}}-\frac{3}{2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{22-10t-3{t^2} + 21t-30}}{{2\left( {{t^2}-7t + 10} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{-3{t^2} + 11t-8}}{{2\left( {{t^2}-7t + 10} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3{t^2}-11t + 8}}{{{t^2}-7t + 10}} \le 0.\)

\(3{t^2}-11t + 8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;}\\{{t} = \frac{8}{3}.}\end{array}} \right.\)

\({t^2}-7t + 10 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,}\\{{t} = 5.}\end{array}} \right.\)

\(\frac{{3{t^2}-11t + 8}}{{{t^2}-7t + 10}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\frac{{\left( {t-1} \right)\left( {3t-8} \right)}}{{\left( {t-2} \right)\left( {t-5} \right)}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le t < 2,}\\{\frac{8}{3} \le t < 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le {5^x} < 2,}\\{\frac{8}{3} \le {5^x} < 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^0} \le {5^x} < {5^{{{\log }_5}2}},}\\{{5^{{{\log }_5}\frac{8}{3}}} \le {5^x} < {5^1}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x < {{\log }_5}2,}\\{{{\log }_5}\frac{8}{3} \le x < 1.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {0;\;{{\log }_5}2} \right) \cup \left[ {{{\log }_5}\frac{8}{3};\;1} \right).\)

Ответ: \(\left[ {0;\;{{\log }_5}2} \right) \cup \left[ {{{\log }_5}\frac{8}{3};\;1} \right).\)