46В. Решите неравенство \({\left( {{9^x}-2 \cdot {3^x}} \right)^2}-62\left( {{9^x}-2 \cdot {3^x}} \right)-63 \ge 0\).
\({\left( {{9^x}-2 \cdot {3^x}} \right)^2}-62\left( {{9^x}-2 \cdot {3^x}} \right)-63 \ge 0.\) Пусть \({9^x}-2 \cdot {3^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-62t-63 \ge 0.\) \({t^2}-62t-63 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 63,}\\{{t} = -1.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-62t-63 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-63} \right)\left( {t + 1} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -1,}\\{t \ge 63\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{9^x}-2 \cdot {3^x} \le -1,}\\{{9^x}-2 \cdot {3^x} \ge 63\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{2x}}-2 \cdot {3^x} + 1 \le 0,\,\;\,}\\{{3^{2x}}-2 \cdot {3^x}-63 \ge 0\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{3^x}-1} \right)}^2} \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{3^{2x}}-2 \cdot {3^x}-63 \ge 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим второе неравенство полученной совокупности. Пусть \({3^x} = y.\) Тогда неравенство примет вид: \({y^2}-2y-63 \ge 0.\) \({y^2}-2y-63 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y} = 9,\;\;}\\{{y} = -7.}\end{array}} \right.\) \({y^2}-2y-63 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {y-9} \right)\left( {y + 7} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \le -7,}\\{y \ge 9\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \le -7,}\\{{3^x} \ge 9\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \le -7,}\\{{3^x} \ge {3^2}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,}\\{x \ge 2\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge 2.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{3^x}-1} \right)}^2} \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{3^{2x}}-2 \cdot {3^x}-63 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x}-1 = 0,}\\{x \ge 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,}\\{x \ge 2.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)