47В. Решите неравенство  \(\frac{{{3^x} + 9}}{{{3^x}-9}} + \frac{{{3^x}-9}}{{{3^x} + 9}} \ge \frac{{4 \cdot {3^{x + 1}} + 144}}{{{9^x}-81}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ 1 \right\} \cup \left( {2;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{{{3^x} + 9}}{{{3^x}-9}} + \frac{{{3^x}-9}}{{{3^x} + 9}} \ge \frac{{4 \cdot {3^{x + 1}} + 144}}{{{9^x}-81}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{3^x} + 9}}{{{3^x}-9}} + \frac{{{3^x}-9}}{{{3^x} + 9}}-\frac{{12 \cdot {3^x} + 144}}{{{3^{2x}}-81}} \ge 0.\)

Пусть  \({3^x} = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\(\frac{{t + 9}}{{t-9}} + \frac{{t-9}}{{t + 9}}-\frac{{12t + 144}}{{\left( {t-9} \right)\left( {t + 9} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2} + 18t + 81 + {t^2}-18t + 81-12t-144}}{{\left( {t-9} \right)\left( {t + 9} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{t^2}-12t + 18}}{{\left( {t-9} \right)\left( {t + 9} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {t-3} \right)}^2}}}{{\left( {t-9} \right)\left( {t + 9} \right)}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < -9,}\\{t = 3,\;\;}\\{t > 9\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} < -9,}\\{{3^x} = 3,\;\;}\\{{3^x} > 9\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} < -9,\;}\\{{3^x} = {3^1},\;\;}\\{{3^x} > {3^2}\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,}\\{x = 1,\,\;}\\{x > 2\;\;}\end{array}} \right.\,\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\,}\\{x > 2.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left\{ 1 \right\} \cup \left( {2;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left\{ 1 \right\} \cup \left( {2;\infty } \right).\)