48В. Решите неравенство  \(\frac{{{2^x} + 8}}{{{2^x}-8}} + \frac{{{2^x}-8}}{{{2^x} + 8}} \ge \frac{{{2^{x + 4}} + 96}}{{{4^x}-64}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left\{ 2 \right\} \cup \left( {3;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{{{2^x} + 8}}{{{2^x}-8}} + \frac{{{2^x}-8}}{{{2^x} + 8}} \ge \frac{{{2^{x + 4}} + 96}}{{{4^x}-64}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{2^x} + 8}}{{{2^x}-8}} + \frac{{{2^x}-8}}{{{2^x} + 8}} \ge \frac{{16 \cdot {2^x} + 96}}{{{2^{2x}}-64}}.\)

Пусть  \({2^x} = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\(\frac{{t + 8}}{{t-8}} + \frac{{t-8}}{{t + 8}} \ge \frac{{16t + 96}}{{{t^2}-64}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {t + 8} \right)}^2} + {{\left( {t-8} \right)}^2}-16t-96}}{{\left( {t-8} \right)\left( {t + 8} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{t^2}-16t + 32}}{{\left( {t-8} \right)\left( {t + 8} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-8t + 16}}{{\left( {t-8} \right)\left( {t + 8} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {t-4} \right)}^2}}}{{\left( {t-8} \right)\left( {t + 8} \right)}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < -8,}\\{t = 4,\;\;}\\{t > 8\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} < -8,}\\{{2^x} = 4,\;\;}\\{{2^x} > 8\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} < -8,}\\{{2^x} = {2^2},\;}\\{{2^x} > {2^3}\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,}\\{x = 2,}\\{x > 3\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,}\\{x > 3.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left\{ 2 \right\} \cup \left( {3;\;\infty } \right).\)

Ответ: \(\left\{ 2 \right\} \cup \left( {3;\;\infty } \right).\)