48В. Решите неравенство \(\frac{{{2^x} + 8}}{{{2^x}-8}} + \frac{{{2^x}-8}}{{{2^x} + 8}} \ge \frac{{{2^{x + 4}} + 96}}{{{4^x}-64}}\).
ОТВЕТ: \(\left\{ 2 \right\} \cup \left( {3;\;\infty } \right).\)
\(\frac{{{2^x} + 8}}{{{2^x}-8}} + \frac{{{2^x}-8}}{{{2^x} + 8}} \ge \frac{{{2^{x + 4}} + 96}}{{{4^x}-64}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{2^x} + 8}}{{{2^x}-8}} + \frac{{{2^x}-8}}{{{2^x} + 8}} \ge \frac{{16 \cdot {2^x} + 96}}{{{2^{2x}}-64}}.\) Пусть \({2^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\frac{{t + 8}}{{t-8}} + \frac{{t-8}}{{t + 8}} \ge \frac{{16t + 96}}{{{t^2}-64}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {t + 8} \right)}^2} + {{\left( {t-8} \right)}^2}-16t-96}}{{\left( {t-8} \right)\left( {t + 8} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{t^2}-16t + 32}}{{\left( {t-8} \right)\left( {t + 8} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-8t + 16}}{{\left( {t-8} \right)\left( {t + 8} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {t-4} \right)}^2}}}{{\left( {t-8} \right)\left( {t + 8} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < -8,}\\{t = 4,\;\;}\\{t > 8\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} < -8,}\\{{2^x} = 4,\;\;}\\{{2^x} > 8\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} < -8,}\\{{2^x} = {2^2},\;}\\{{2^x} > {2^3}\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,}\\{x = 2,}\\{x > 3\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,}\\{x > 3.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left\{ 2 \right\} \cup \left( {3;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left\{ 2 \right\} \cup \left( {3;\;\infty } \right).\)