\(\dfrac{{{5^x}}}{{{5^x}-4}} + \dfrac{{{5^x} + 5}}{{{5^x}-5}} + \dfrac{{22}}{{{{25}^x}-9 \cdot {5^x} + 20}} \le 0.\)
Пусть \({5^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\(\dfrac{t}{{t-4}} + \dfrac{{t + 5}}{{t-5}} + \dfrac{{22}}{{{t^2}-9t + 20}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{t}{{t-4}} + \dfrac{{t + 5}}{{t-5}} + \dfrac{{22}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-5} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t\left( {t-5} \right) + \left( {t + 5} \right)\left( {t-4} \right) + 22}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-5} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}-5t + {t^2}-4t + 5t-20 + 22}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-5} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{t^2}-4t + 2}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-5} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{{\left( {t-1} \right)}^2}}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-5} \right)}} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4 < t < 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x} = 1,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4 < {5^x} < 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x} = {5^0},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{5^{{{\log }_5}4}} < {5^x} < {5^1}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\log }_5}4 < x < 1.\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left\{ 0 \right\} \cup \left( {{{\log }_5}4;1} \right).\)
Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left( {{{\log }_5}4;1} \right).\)