52В. Решите неравенство  \(1 + \frac{{14}}{{{3^x}-9}} + \frac{{48}}{{{9^x}-2 \cdot {3^{x + 2}} + 81}} \ge 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {1;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\)

Решение

\(1 + \frac{{14}}{{{3^x}-9}} + \frac{{48}}{{{9^x}-2 \cdot {3^{x + 2}} + 81}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + \frac{{14}}{{{3^x}-9}} + \frac{{48}}{{{3^{2x}}-18 \cdot {3^x} + 81}} \ge 0.\)

Пусть  \({3^x} = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\(1 + \frac{{14}}{{t-9}} + \frac{{48}}{{{t^2}-18t + 81}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + \frac{{14}}{{t-9}} + \frac{{48}}{{{{\left( {t-9} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-18t + 81 + 14t-126 + 48}}{{{{\left( {t-9} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-4t + 3}}{{{{\left( {t-9} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\frac{{\left( {t-1} \right)\left( {t-3} \right)}}{{{{\left( {t-9} \right)}^2}}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 1,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 9,}\\{t \ge 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \le 1,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \ne 9,}\\{{3^x} \ge 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \le {3^0},}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \ne {3^2},}\\{{3^x} \ge {3^1}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2,}\\{x \ge 1.\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {1;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\)

Ответ: \(\left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {1;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\)