54В. Решите неравенство \(\frac{{{{15}^x}-27 \cdot {5^x}}}{{x \cdot {3^x}-4 \cdot {3^x}-27x + 108}} \le \frac{1}{{x-4}}\).
\(\frac{{{{15}^x}-27 \cdot {5^x}}}{{x \cdot {3^x}-4 \cdot {3^x}-27x + 108}} \le \frac{1}{{x-4}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{5^x}\left( {{3^x}-27} \right)}}{{{3^x}\left( {x-4} \right)-27\left( {x-4} \right)}}-\frac{1}{{x-4}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{5^x}\left( {{3^x}-27} \right)}}{{\left( {{3^x}-27} \right)\left( {x-4} \right)}}-\frac{1}{{x-4}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{5^x}}}{{x-4}}-\frac{1}{{x-4}} \le 0,}\\{{3^x}-27 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{5^x}-1}}{{x-4}} \le 0,\;\,}\\{x \ne 3.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Решим полученную систему: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {0;\;3} \right) \cup \left( {3;\;4} \right).\) Ответ: \(\left[ {0;\;3} \right) \cup \left( {3;\;4} \right).\)