56В. Решите неравенство \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{{7x-{x^2}-9}}{x}}}-4 \cdot {\left( {\frac{1}{{15}}} \right)^{\frac{{7x-{x^2}-9}}{x}}} \ge 5 \cdot {\left( {\frac{1}{{75}}} \right)^{\frac{{7x-{x^2}-9}}{x}}}\).
\({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{{7x-{x^2}-9}}{x}}}-4 \cdot {\left( {\frac{1}{{15}}} \right)^{\frac{{7x-{x^2}-9}}{x}}} \ge 5 \cdot {\left( {\frac{1}{{75}}} \right)^{\frac{{7x-{x^2}-9}}{x}}}.\) Пусть \(\frac{{7x-{x^2}-9}}{x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}-4 \cdot {\left( {\frac{1}{{15}}} \right)^t} \ge 5 \cdot {\left( {\frac{1}{{75}}} \right)^t}\left| {:{{\left( {\frac{1}{{75}}} \right)}^t} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{25^t}-4 \cdot {5^t}-5 \ge 0.\) Пусть \({5^t} = y.\) Тогда неравенство примет вид: \({y^2}-4y-5 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y} = -1,}\\{{y} = 5.\;\,}\end{array}} \right.\) \({y^2}-4y-5 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left( {y + 1} \right)\left( {y-5} \right) \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \le -1,}\\{y \ge 5.\,\,\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к переменной \(t:\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^t} \le -1,}\\{{5^t} \ge 5\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^t} \le -1,}\\{{5^t} \ge {5^1}\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \in R,}\\{t \ge 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t \ge 1.\) Вернёмся к переменной \(x:\) \(\frac{{7x-{x^2}-9}}{x} \ge 1\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{6x-{x^2}-9}}{x} \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^2}-6x + 9}}{x} \le 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {x-3} \right)}^2}}}{x} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left\{ 3 \right\}.\) Ответ: \(\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left\{ 3 \right\}.\)