57В. Решите неравенство  \(\frac{{{{25}^x}-{5^{x + 2}} + 26}}{{{5^x}-1}} + \frac{{{{25}^x}-7 \cdot {5^x} + 1}}{{{5^x}-7}} \le 2 \cdot {5^x}-24\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left[ {1;\;{{\log }_5}7} \right).\)

Решение

\(\frac{{{{25}^x}-{5^{x + 2}} + 26}}{{{5^x}-1}} + \frac{{{{25}^x}-7 \cdot {5^x} + 1}}{{{5^x}-7}} \le 2 \cdot {5^x}-24\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{5^{2x}}-25 \cdot {5^x} + 26}}{{{5^x}-1}} + \frac{{{5^{2x}}-7 \cdot {5^x} + 1}}{{{5^x}-7}} \le 2 \cdot {5^x}-24.\)

Пусть  \({5^x} = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\(\frac{{{t^2}-25t + 26}}{{t-1}} + \frac{{{t^2}-7t + 1}}{{t-7}} \le 2t-24\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-t-24t + 24 + 2}}{{t-1}} + \frac{{{t^2}-7t + 1}}{{t-7}} \le 2t-24\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t\left( {t-1} \right)}}{{t-1}} + \frac{{-24\left( {t-1} \right)}}{{t-1}} + \frac{2}{{t-1}} + \frac{{t\left( {t-7} \right)}}{{t-7}} + \frac{1}{{t-7}} \le 2t-24\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;t-24 + \frac{2}{{t-1}} + t + \frac{1}{{t-7}} \le 2t-24\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{2}{{t-1}} + \frac{1}{{t-7}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2t-14 + t-1}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-7} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3t-15}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-7} \right)}} \le 0\left| {:3} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t-5}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-7} \right)}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < 1,\;\;\;\;\,}\\{5 \le t < 7}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x} < 1,\;\;\;\;\,}\\{5 \le {5^x} < 7}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x} < {5^0},\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{{5^1} \le {5^x} < {5^{{{\log }_5}7}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{1 \le x < {{\log }_5}7.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left[ {1;\;{{\log }_5}7} \right).\)

Ответ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left[ {1;\;{{\log }_5}7} \right).\)