59В. Решите неравенство \({3^x} + \frac{{2 \cdot {3^{x + 1}}}}{{{3^x}-3}} + \frac{{{9^x} + 26 \cdot {3^x} + 21}}{{{9^x}-4 \cdot {3^{x + 1}} + 27}} \le 1\).
\({3^x} + \frac{{2 \cdot {3^{x + 1}}}}{{{3^x}-3}} + \frac{{{9^x} + 26 \cdot {3^x} + 21}}{{{9^x}-4 \cdot {3^{x + 1}} + 27}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^x} + \frac{{6 \cdot {3^x}}}{{{3^x}-3}} + \frac{{{3^{2x}} + 26 \cdot {3^x} + 21}}{{{3^{2x}}-12 \cdot {3^x} + 27}} \le 1.\) Пусть \({3^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(t + \frac{{6t}}{{t-3}} + \frac{{{t^2} + 26t + 21}}{{{t^2}-12t + 27}} \le 1.\) \({t^2}-12t + 27 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,}\\{{t} = 9.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-12t + 27 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-3} \right)\left( {t-9} \right) = 0.\) \(t + \frac{{6t}}{{t-3}} + \frac{{{t^2} + 26t + 21}}{{{t^2}-12t + 27}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t + \frac{{6t}}{{t-3}} + \frac{{{t^2} + 26t + 21}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t-9} \right)}}-1 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^3}-12{t^2} + 27t + 6{t^2}-54t + {t^2} + 26t + 21-{t^2} + 12t-27}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t-9} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^3}-6{t^2} + 11t-6}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t-9} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя: \({t^3}-6{t^2} + 11t-6 = 0.\) Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-6,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 3;\,\,\, \pm 6.\) Подходит \(t = 1.\) Разделим многочлен \({t^3}-6{t^2} + 11t-6\) на многочлен \(t-1:\) Следовательно, многочлен \({t^3}-6{t^2} + 11t-6\) раскладывается на множители \(\left( {t-1} \right)\left( {{t^2}-5t + 6} \right).\) Тогда: \(\left( {t-1} \right)\left( {{t^2}-5t + 6} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t-1 = 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t^2}-5t + 6 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;}\\{t = 2,}\\{t = 3.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(t \ne 3,\;\;\;\;t \ne 9.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 1,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 3,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2 \le t < 9}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \le {3^0},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} \ne {3^1},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{3^{{{\log }_3}2}} \le {3^x} < {3^2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{\log }_3}2 \le x < 2.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \,\left( {-\infty ;\;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_3}2;\;1} \right) \cup \left( {1;\;2} \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_3}2;\;1} \right) \cup \left( {1;\;2} \right).\)
