\({3^{-2x + 4}}-81 \cdot {3^{-x + 3}}-{3^{-x + 1}} + 81 \le 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{3^{-2x}} \cdot {3^4}-81 \cdot {3^{-x}} \cdot {3^3}-{3^{-x}} \cdot 3 + 81 \le 0\left| {:3} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\(27 \cdot {3^{-2x}}-729 \cdot {3^{-x}}-{3^{-x}} + 27 \le 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,27 \cdot {3^{-2x}}-730 \cdot {3^{-x}} + 27 \le 0.\)
Пусть \({3^{-x}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(27{t^2}-730t + 27 \le 0.\)
\(27{t^2}-730t + 27 = 0;\;\;\;\;\;\;D = {730^2}-4 \cdot 27 \cdot 27 = {730^2}-{\left( {27 \cdot 2} \right)^2} = \left( {730-54} \right)\left( {730 + 54} \right) = 676 \cdot 784,\)
\(\sqrt D = \sqrt {676 \cdot 784} = 26 \cdot 28 = 728;\;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \dfrac{{730 + 728}}{{54}} = 27,\,\,}\\{{t} = \dfrac{{730-728}}{{54}} = \dfrac{1}{{27}}.}\end{array}} \right.\)
\(27{t^2}-730t + 27 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left( {t-27} \right)\left( {27t-1} \right) \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\dfrac{1}{{27}} \le t \le 27\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{-3}} \le {3^{-x}} \le {3^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-3 \le -x \le 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-3 \le x \le 3.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-3;3} \right].\)
Ответ: \(\left[ {-3;3} \right]\).