60В. Решите неравенство  \({2^x} + \frac{{{2^{x + 2}}}}{{{2^x}-4}} + \frac{{{4^x} + 7 \cdot {2^x} + 20}}{{{4^x}-3 \cdot {2^{x + 2}} + 32}} \le 1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}3;\;2} \right) \cup \left( {2;\;3} \right).\)

Решение

\({2^x} + \frac{{{2^{x + 2}}}}{{{2^x}-4}} + \frac{{{4^x} + 7 \cdot {2^x} + 20}}{{{4^x}-3 \cdot {2^{x + 2}} + 32}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^x} + \frac{{4 \cdot {2^x}}}{{{2^x}-4}} + \frac{{{2^{2x}} + 7 \cdot {2^x} + 20}}{{{2^{2x}}-12 \cdot {2^x} + 32}} \le 1.\)

Пусть  \({2^x} = t.\)  Тогда неравенство примет вид:  \(t + \frac{{4t}}{{t-4}} + \frac{{{t^2} + 7t + 20}}{{{t^2}-12t + 32}} \le 1.\)

\({t^2}-12t + 32 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 4,}\\{{t} = 8.}\end{array}} \right.\)

\({t^2}-12t + 32 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-4} \right)\left( {t-8} \right) = 0.\)

\(t + \frac{{4t}}{{t-4}} + \frac{{{t^2} + 7t + 20}}{{{t^2}-12t + 32}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t + \frac{{4t}}{{t-4}} + \frac{{{t^2} + 7t + 20}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-8} \right)}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^3}-12{t^2} + 32t + 4{t^2}-32t + {t^2} + 7t + 20-{t^2} + 12t-32}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-8} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^3}-8{t^2} + 19t-12}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-8} \right)}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:  \({t^3}-8{t^2} + 19t-12 = 0.\)

Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного  \(-12,\)  то есть:  \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 3;\,\,\, \pm 4;\;\; \pm 6;\,\,\, \pm 12.\)

Подходит  \(t = 1.\)  Разделим многочлен  \({t^3}-8{t^2} + 19t-12\)  на многочлен  \(t-1:\)

Следовательно, многочлен  \({t^3}-8{t^2} + 19t-12\)  раскладывается на множители  \(\left( {t-1} \right)\left( {{t^2}-7t + 12} \right).\)  Тогда:

\(\left( {t-1} \right)\left( {{t^2}-7t + 12} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t-1 = 0,\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;}\\{{t^2}-7t + 12 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,}\\{t = 3,}\\{t = 4.}\end{array}} \right.\)

Найдём нули знаменателя:  \(t \ne 4,\;\;\;\;t \ne 8.\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 1,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 4,\,\,\,\,\,\,\,}\\{3 \le t < 8}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} \le {2^0},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} \ne {2^2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{2^{{{\log }_2}3}} \le {2^x} < {2^3}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,\;\;}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2,\;\;\;\,\;\,\;\,\,\,\;\;\;}\\{{{\log }_2}3 \le x < 3.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}3;\;2} \right) \cup \left( {2;\;3} \right).\)

Ответ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}3;\;2} \right) \cup \left( {2;\;3} \right).\)