62В. Решите неравенство  \({3^{\left| x \right|}}-8-\frac{{{3^{\left| x \right|}} + 9}}{{{9^{\left| x \right|}}-4 \cdot {3^{\left| x \right|}} + 3}} \le \frac{5}{{{3^{\left| x \right|}}-1}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {-2;\;-1} \right) \cup \left[ {-{{\log }_3}2;\;0} \right) \cup \left( {0;\;{{\log }_3}2} \right] \cup \left( {1;\;2} \right].\)

Решение

\({3^{\left| x \right|}}-8-\frac{{{3^{\left| x \right|}} + 9}}{{{9^{\left| x \right|}}-4 \cdot {3^{\left| x \right|}} + 3}} \le \frac{5}{{{3^{\left| x \right|}}-1}}.\)

Пусть  \({3^{\left| x \right|}} = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\(t-8-\frac{{t + 9}}{{{t^2}-4t + 3}}-\frac{5}{{t-1}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t-8-\left( {\frac{{t + 9}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-3} \right)}} + \frac{5}{{t-1}}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;t-8-\frac{{t + 9 + 5t-15}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-3} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t-8-\frac{{6\left( {t-1} \right)}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-3} \right)}} \le 0\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{t^2}-3t-8t + 24-6}}{{t-3}} \le 0,}\\{t-1 \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{t^2}-11t + 18}}{{t-3}} \le 0,}\\{t \ne 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\left( {t-2} \right)\left( {t-9} \right)}}{{t-3}} \le 0,}\\{t \ne 1.\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\,}\end{array}} \right.\)

Решим полученную систему:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 1,\;\;\;\;}\\{t \le 2,\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{3 < t \le 9}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{\left| x \right|}} \ne {3^0},\;\;\;\;\;}\\{{3^{\left| x \right|}} \le {3^{{{\log }_3}2}},\;}\end{array}} \right.}\\{{3^1} < {3^{\left| x \right|}} \le {3^2}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| x \right| \ne 0,\;\;\;\;\;}\\{\left| x \right| \le {{\log }_3}2,}\end{array}} \right.}\\{1 < \left| x \right| \le 2\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{-{{\log }_3}2 \le x \le {{\log }_3}2,\,\;\;}\end{array}} \right.}\\{-2 \le x < -1,\,\,\,\,\,\,1 < x \le 2.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:

\(x \in \left[ {-2;\;-1} \right) \cup \left[ {-{{\log }_3}2;\;0} \right) \cup \left( {0;\;{{\log }_3}2} \right] \cup \left( {1;\;2} \right].\)

Ответ:  \(\left[ {-2;\;-1} \right) \cup \left[ {-{{\log }_3}2;\;0} \right) \cup \left( {0;\;{{\log }_3}2} \right] \cup \left( {1;\;2} \right].\)