\(\dfrac{1}{{{3^x}-1}} + \dfrac{{{9^{x + \dfrac{1}{2}}}-{3^{x + 3}} + 3}}{{{3^x}-9}} \ge {3^{x + 1}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{{3^x}-1}} + \dfrac{{3 \cdot {3^{2x}}-27 \cdot {3^x} + 3}}{{{3^x}-9}} \ge 3 \cdot {3^x}.\)
Пусть \({3^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\(\dfrac{1}{{t-1}} + \dfrac{{3{t^2}-27t + 3}}{{t-9}} \ge 3t\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{t-1}} + \dfrac{{3{t^2}-27t + 3}}{{t-9}}-3t \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t-9 + 3{t^3}-27{t^2} + 3t-3{t^2} + 27t-3-3{t^3} + 30{t^2}-27t}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-9} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4t-12}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-9} \right)}} \ge 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < t \le 3,}\\{t > 9\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < {3^x} \le 3,}\\{{3^x} > 9\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^0} < {3^x} \le {3^1},}\\{{3^x} > {3^2}\,\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le 1,}\\{x > 2.\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;1} \right] \cup \left( {2;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {0;1} \right] \cup \left( {2;\infty } \right).\)