64В. Решите неравенство \(\frac{{2 \cdot {3^{2x + 1}}-7 \cdot {6^x} + 2 \cdot {4^x}}}{{3 \cdot {9^x}-{3^x} \cdot {2^{x + 1}}}} \le 1\).
\(\frac{{2 \cdot {3^{2x + 1}}-7 \cdot {6^x} + 2 \cdot {4^x}}}{{3 \cdot {9^x}-{3^x} \cdot {2^{x + 1}}}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{6 \cdot {3^{2x}}-7 \cdot {6^x} + 2 \cdot {2^{2x}}}}{{3 \cdot {3^{2x}}-2 \cdot {3^x} \cdot {2^x}}}-1 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{6 \cdot {3^{2x}}-7 \cdot {6^x} + 2 \cdot {2^{2x}}-3 \cdot {3^{2x}} + 2 \cdot {6^x}}}{{3 \cdot {3^{2x}}-2 \cdot {3^x} \cdot {2^x}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3 \cdot {3^{2x}}-5 \cdot {6^x} + 2 \cdot {2^{2x}}}}{{3 \cdot {3^{2x}}-2 \cdot {3^x} \cdot {2^x}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3 \cdot {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{2x}}-5 \cdot {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} + 2}}{{3 \cdot {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{2x}}-2 \cdot {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x}}} \le 0.\) Пусть \({\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\frac{{3{t^2}-5t + 2}}{{3{t^2}-2t}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{3{t^2}-5t + 2}}{{t\left( {3t-2} \right)}} \le 0.\) Решим исходное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя: \(3{t^2}-5t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{2}{3},}\\{{t} = 1.\;}\end{array}} \right.\) \(3{t^2}-5t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {3t-2} \right)\left( {t-1} \right) = 0.\) \(\frac{{3{t^2}-5t + 2}}{{t\left( {3t-2} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{\left( {3t-2} \right)\left( {t-1} \right)}}{{t\left( {3t-2} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{t-1}}{t} \le 0,}\\{3t-2 \ne 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{t-1}}{t} \le 0,}\\{t \ne \frac{2}{3}.\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < t \le 1,}\\{t \ne \frac{2}{3}\;\;\;\;\;}\end{array}\;\,\,\,\,} \right. \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} \le 1,}\\{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} \ne \frac{2}{3}\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,\;\;\;\;\;\;}\\{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} \le {{\frac{3}{2}}^0}\;}\end{array}\;\,} \right.}\\{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} \ne {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{-1}}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0,\;\;}\\{x \ne -1.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \,\left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right].\)