\({25^x} + {5^{x + 1}} + {5^{1-x}} + \dfrac{1}{{{{25}^x}}} \le 12\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{2x}} + 5 \cdot {5^x} + \dfrac{5}{{{5^x}}} + \frac{1}{{{5^{2x}}}} \le 12\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{2x}} + 5\left( {{5^x} + \dfrac{1}{{{5^x}}}} \right) + \dfrac{1}{{{5^{2x}}}}-12 \le 0.\)
Пусть \({5^x} + \dfrac{1}{{{5^x}}} = t,\;\;\;\;t \ge 2.\) Тогда \({t^2} = {\left( {{5^x} + \dfrac{1}{{{5^x}}}} \right)^2} = {5^{2x}} + 2 \cdot {5^x} \cdot \dfrac{1}{{{5^x}}} + \dfrac{1}{{{5^{2x}}}}\) и \({5^{2x}} + \dfrac{1}{{{5^{2x}}}} = {t^2}-2.\) Следовательно, неравенство примет вид:
\({t^2}-2 + 5t-12 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 5t-14 \le 0.\)
\({t^2} + 5t-14 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -7,}\\{{t} = 2.\;\,}\end{array}} \right.\)
\({t^2} + 5t-14 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + 7} \right)\left( {t-2} \right) \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Следовательно, \(t\, \in \,\left[ {-7;2} \right].\) Так как \(t \ge 2\), то \(t = 2.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\({5^x} + \dfrac{1}{{{5^x}}} = 2\left| { \cdot {5^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{2x}}-2 \cdot {5^x} + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{5^x}-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^x} = {5^0}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 0.\)
Ответ: \(0.\)