66В. Решите неравенство \({9^x} + {3^{x + 1}} + {3^{1-x}} + \frac{1}{{{9^x}}} \le 8\).
\({9^x} + {3^{x + 1}} + {3^{1-x}} + \frac{1}{{{9^x}}} \le 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2x}} + 3 \cdot {3^x} + \frac{3}{{{3^x}}} + \frac{1}{{{3^{2x}}}} \le 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2x}} + \frac{1}{{{3^{2x}}}} + 3 \cdot \left( {{3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} \right) \le 8.\) Пусть \({3^x} + \frac{1}{{{3^x}}} = t,\;\;\;\;t \ge 2.\) Тогда \({t^2} = {\left( {{3^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} \right)^2} = {3^{2x}} + 2 \cdot {3^x} \cdot \frac{1}{{{3^x}}} + \frac{1}{{{3^{2x}}}}\) и \({3^{2x}} + \frac{1}{{{3^{2x}}}} = {t^2}-2.\) Неравенство примет вид: \({t^2}-2 + 3t-8 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 3t-10 \le 0.\) \({t^2} + 3t-10 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -5,}\\{{t} = 2.\;\,}\end{array}} \right.\) \({t^2} + 3t-10 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + 5} \right)\left( {t-2} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(t\, \in \,\left[ {-5;2} \right].\) Так как \(t \ge 2\), то \(t = 2.\) Вернёмся к прежней переменной: \({3^x} + \frac{1}{{{3^x}}} = 2\left| { \cdot {3^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2x}}-2 \cdot {3^x} + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{3^x}-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^x} = {3^0}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 0.\) Ответ: \(0.\)