67В. Решите неравенство \({\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{-{x^2}}} \le {\left( {\sqrt {10} -3} \right)^{15\,-\,2x}}\).
\({\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{-{x^2}}} \le {\left( {\sqrt {10} -3} \right)^{15-2x}}.\) Так как \(\sqrt {10} -3 = \frac{{\left( {\sqrt {10} -3} \right)\left( {\sqrt {10} + 3} \right)}}{{\sqrt {10} + 3}} = \frac{{10-9}}{{\sqrt {10} + 3}} = \frac{1}{{\sqrt {10} + 3}} = {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{-1}},\) то исходное неравенство равносильно неравенству \({\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{-{x^2}}} \le {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{2x-15}}.\) Учитывая, что \(\sqrt {10} + 3 > 1,\) то: \({\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{-{x^2}}} \le {\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^{2x-15}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-{x^2} \le 2x-15\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2x-15 \ge 0.\) \({x^2} + 2x-15 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = -5,}\\{{x} = 3.\;\,}\end{array}} \right.\) \({x^2} + 2x-15 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 5} \right)\left( {x-3} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-5} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-5} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)