68В. Решите неравенство  \({\left( {\sqrt 3 -\sqrt 2 } \right)^{3-x}} \le {\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)^{\sqrt {x + 3} }}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {-3;6} \right].\)

Решение

\({\left( {\sqrt 3 -\sqrt 2 } \right)^{3-x}} \le {\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)^{^{\sqrt {x + 3} }}}.\)

Так как 

\(\sqrt 3 -\sqrt 2  = \frac{{\left( {\sqrt 3 -\sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }} = \frac{{3-2}}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }} = {\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)^{-1}},\) 

то исходное неравенство равносильно

 \({\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)^{x-3}} \le {\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)^{\sqrt {x + 3} }}.\)

Учитывая, что  \(\sqrt 3  + \sqrt 2  > 1,\)  то:

\({\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)^{x-3}} \le {\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)^{\sqrt {x + 3} }}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x-3 \le \sqrt {x + 3} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {x + 3}  \ge x-3\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 \ge 0,}\\{x-3 < 0\;}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-3 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x + 3 \ge {{\left( {x-3} \right)}^2}\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -3,}\\{x < 3\;\,\;}\end{array}\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2}-7x + 6 \le 0\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x < 3,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3,\;\;\;\;\,}\\{1 \le x \le 6\,}\end{array}\,} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x < 3,}\\{3 \le x \le 6\,\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-3;6} \right].\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {-3;6} \right].\)

Ответ:  \(\left[ {-3;6} \right].\)