69В. Решите неравенство \(\left( {{3^{\frac{{x-2}}{2}}}-1} \right)\sqrt {{3^x}-10\sqrt {{3^x}} + 9} \ge 0\).
\(\left( {{3^{\frac{{x-2}}{2}}}-1} \right)\sqrt {{3^x}-10\sqrt {{3^x}} + 9} \ge 0.\) Найдём ОДЗ: \({3^x}-10\sqrt {{3^x}} + 9 \ge 0.\) Пусть \({3^{\frac{x}{2}}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-10t + 9 \ge 0.\) \({t^2}-10t + 9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;}\\{{t} = 9.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-10t + 9 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-1} \right)\left( {t-9} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 1,}\\{t \ge 9}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{\frac{x}{2}}} \le 1,}\\{{3^{\frac{x}{2}}} \ge 9\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{\frac{x}{2}}} \le {3^0},}\\{{3^{\frac{x}{2}}} \ge {3^2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{2} \le 0,}\\{\frac{x}{2} \ge 2\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0,}\\{x \ge 4.}\end{array}} \right.\) Таким образом, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right).\) Так как \(\sqrt {{3^x}-10\sqrt {{3^x}} + 9} \ge 0\) при \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right),\) то последнее неравенство равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{\frac{{x-2}}{2}}}-1 \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\sqrt {{3^x}-10\sqrt {{3^x}} + 9} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{\frac{{x-2}}{2}}} \ge {3^0},\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\sqrt {{3^x}-10 \cdot {3^{\frac{x}{2}}} + 9} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2 \ge 0,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{3^x}-10 \cdot {3^{\frac{x}{2}}} + 9 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 2,\,\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,}\\{x = 4\,.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Таким образом, \(x \in \,\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {2;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right),\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)